Evaluación de Potencias”

Nombre: ________________________________          Fecha: ______________

Puntaje: ____________________                                    Nota: ________________

1.     – Calcula el valor de cada potencia:

a)     5³ = ___________

b)     2⁸ = ___________

c)      10⁶ = __________

d)     (-4)³ = __________

e)      0,3⁴ = __________

f)       (¾)³ = _________

2.     – Expresa en notación científica:

a)           25.000.000.000 = _______

b)           3.120.000.000.000 = _____

c)            9.000.000.000.000.000 = _____

d)           180.000 = ____________

e)            0,0045 = ____________

f)             0,0000026 = __________

g)            0,0000000000236 = _____

h)           0,012 = ______________

3.     – Expresa en notación convencional:

a)     4,5 · 10⁸ = ____________________

b)     2,1 · 10¹² = ___________________

c)      8 · 10⁹ = _____________________

d)     4,2 · 10^-6 = ___________________

e)      1,9 · 10^-10 = ___________________

f)       7 · 10^-7 = ____________________

4.     – Resuelve los ejercicios aplicando las propiedades de las potencias:

a)     8⁴ · 8² = __________

b)     2⁶ · 2⁵ = __________

c)      5⁷ : 5⁴ = __________

d)     12⁶ : 12⁸ = ________

e)      2⁴ · 3⁴ = _________

f)       7⁵ · 2⁵ = _________

g)      28³ : 7³ = ________

h)     45⁵ : 9⁵ = ________

i)        (4²)⁶

(4⁴)⁸

j)       (2⁴ · 2³)²

(2⁸ : 2⁶)⁴

k)    (3² · 4²) : (2² · 3²)

(5³ · 4³) : (10³· 2³)

5.     – Lee atentamente el problema y resuelve aplicando potencias:

a)     Claudia decide criar ratones. Pronto se da cuenta de que después de tres meses tiene el triple de la pareja con que comenzó. A los tres meses nuevamente se le triplicaron los ratones. ¿Después de cuánto tiempo tendrá 162 ratones?

Taller

Calcular:

1)       2^{3  +}  5² =

2)     ( - 3)^{3  =} 

3)      2⁴  + 4² =  

4)     (-2³)²=  

5)    (7+3)³=  

6)    (-2)² + (-2)² + (-2)³ + (-2)⁴ + (-2)⁰ =   

7)    (5²)³. 5⁰ =     

  

Definiciones

Potencia: Expresión que representa a un número que se multiplica por si mismo varias veces
Consta de dos partes: la base que es el número a multiplicar y el exponente que es la cantidad de veces que ese número se multiplica por sí mismo.

Propiedades de  la potencia:

·         Potencias de exponente 0: Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad.

a⁰ = 1

5⁰ = 1

•  Potencias de exponente 1: Un número elevado al exponente 1 es igual al mismo número.

4¹ = 4

5¹ = 15

• Potencias de exponente entero negativo: La potencia de un número con exponente entero negativo es igual al inverso del número elevado a exponente positivo.

• Potencias de exponente racional:

Una potencia de exponente fraccionario se puede transformar en una raíz cuyo:

Índice es el denominador.

Radicando es la base elevada al numerador.

Por lo tanto al resolver una potencia con exponente racional quedaría:

• Multiplicación de potencias con la misma base: es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

a^m · a ⁿ = a^m+n

2⁵ · 2² = 2⁵⁺² = 2⁷

• División de potencias con la misma base: es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

a^m : a ⁿ = a^{m - n}

2⁵ : 2² = 2^{5 − 2} = 2³

• Potencia de una potencia: Para calcular la potencia de una potencia se deja la base y se multiplican los exponentes.

(a^m)ⁿ=a^{m · n}

(2⁵)³ = 2¹⁵ 

• Multiplicación de potencias con el mismo exponente: La multiplicación de potencias con el mismo exponente es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

aⁿ · b ⁿ = (a · b) ⁿ

2³ · 4³ = 8³

• División de potencias con el mismo exponente: La división de potencias con el mismo exponente es otra potencia con el mismo  exponente y cuya base es el cociente de las bases.

aⁿ : b ⁿ = (a : b) ⁿ

6³ : 3³ = 2³

Conceptos

-Potencia.

-Propiedades de  la potencia:

• Potencias de exponente 0
• Potencias de exponente 1
• Potencias de exponente entero negativo
• Potencias de exponente racional
• Potencias de exponente racional y negativo
• Multiplicación de potencias con la misma base
• División de potencias con la misma base
• Potencia de una potencia
• Multiplicación de potencias con el mismo exponente
• División de potencias con el mismo exponente

Historia de la potencia

El término potencia aparece consolidado por Aristóteles en el estudio de la Física (φύσισ), la Naturaleza. Para los griegos la Naturaleza es el lugar donde se produce el movimiento, que implica el espacio, el tiempo y la materia; algunos añaden el vacío.

Aristóteles define el movimiento, lo dinámico (το δυνατόν) como la realización (acto) de una capacidad o posibilidad de ser (potencia) en tanto que se está actualizando. Si estoy sentado (acto) y tengo la posibilidad (potencia) de estar de pie, el movimiento consistirá en el paso de la posibilidad (potencia de estar de pie) al hecho de estar de pie (acto) mientras dura el proceso. El movimiento acaba cuando ya estoy de pie (acto).

Mediante este esquema conceptual de potencia y acto, explica Aristóteles la posibilidad del cambio o movimiento.

De la idea de "posibilidad", lo que está en potencia es posible, surge la idea de capacidad de producir, de realizar una acción. Un hombre fuerte tiene mucha potencia porque es capaz de levantar mucho peso.

Estos términos han pasado de la física especulativa tradicional a la física moderna en tanto que se han podido transformar de conceptos cualitativos a conceptos cuantitativos sujetos a medida y experimentación. Esta transformación ha sido el paso esencial en la consolidación de la ciencia moderna.

El concepto de potencia, con significados distintos del aristotélico, ha sido utilizado a lo largo de la historia de la filosofía por numerosos autores como Leibniz, Schelling  o Xavier Zubiri. Sobre este último autor dice José Ferrater Mora que: «Xavier Zubiri ha desarrollado una teoría de las “potencias” partiendo del problema de la realidad de lo pasado en la historia humana. Frente a la tesis de que la realidad pasada, en tanto que pasada, no es real, y frente a la tesis de que es real, y, por lo tanto, no ha pasado, Zubiri señala que una intelección adecuada del problema exige referirse no sólo a la realidad sino también a las posibilidades».² Para los primeros filósofos griegos el tema del movimiento y el cambio tuvo una enorme importancia, pues en su búsqueda por el origen del universo era necesario reflexionar sobre un elemento primigenio perfecto que no nace ni envejece y por lo tanto no se mueve. Para Platón no solo existía un ser, sino varias ideas que poseían esas características, que determinaban las cosas del mundo y eran el paradigma o modelo perfecto, las cosas del mundo buscaban ser como dichas ideas pero dado su movimiento perecían y nunca alcanzaban su perfección; Aristóteles adopta esta postura pero la modifica un poco.

Para Aristóteles las cosas del mundo son al mismo tiempo acto y potencia, en acto cuando se nos presentan tal como son en el momento presente y en potencia, como una posibilidad de ser algo distinto a lo que son ahora, por ejemplo, un niño es un acto tal como es, pero ese niño está en potencia de ser un hombre adulto, algún día lo será en un futuro. Otro ejemplo, un huevo es un acto, su potencia sería un pollo, es un huevo pero podrá ser algo distinto, un pollito. Para los primeros filósofos griegos el tema del movimiento y el cambio tuvieron una enorme importancia, pues en su búsqueda por el origen del universo era necesario reflexionar sobre un elemento primigenio perfecto que no nace ni envejece y por lo tanto no se mueve.